組合邏輯電路的分析與設(shè)計-邏輯代數(shù)

　　表中的基本定律是根據(jù)邏輯加、乘、非三種基本運算法則，推導(dǎo)出的邏輯運算的一些基本定律。
　　對于表中所列的定律的證明，最有效的方法就是檢驗等式左邊的函數(shù)與右邊函數(shù)的真值表是否吻合。

例如，要證明A＋A=A時，可按照下面的步驟進行證明：
　　1. 令A(yù)＝1，則A＋A＝l＋l＝l＝A；
　　2. 令A(yù)＝0，則A＋A＝0＋0＝0＝A；
　　除此之外，別無其他可能，可見A＋A＝A。

　　恒等式可以用其他更基本的定律加以證明，我們來證明其中的第一條，即

　　證明如下：

　　在以上所有定律中，反演律具有特殊重要的意義。反演律又稱為摩根定律，它經(jīng)常用于求一個函數(shù)的非函數(shù)或者對邏輯函數(shù)進行變換
。

例1：證明反演律(摩根定律)成立
證明：
　　因為“輸入都是１時,輸出才是１”同“輸入有０時,輸出為０”在邏輯上是等效的,這種等效關(guān)系可寫成

　　本節(jié)所列出的基本公式反映了邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量之間的關(guān)系
，在運算中不能簡單套用初等代數(shù)的運算規(guī)則。如初等代數(shù)中的移項規(guī)則就不能用，這是因為邏輯代數(shù)中沒有減法和除法的緣故。這一點在使用時必須注意。

二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

1.代入規(guī)則

　　在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量A ，都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立，這個規(guī)則稱為代人規(guī)則。
　　例如 ，在B(A＋C)＝BA＋BC中 ，將所有出現(xiàn)A的地方都代以函數(shù)A＋D,則等式仍成立，即得B[(A＋D)＋C]＝B(A＋D)＋BC＝BA＋BD＋BC
　　代人規(guī)則可以擴展所有基本定律的應(yīng)用范圍。

2.反演規(guī)則

　　根據(jù)摩根定律，求一個邏輯函數(shù)Ｌ的非函數(shù)時，可以將Ｌ中的與（·）換成或（＋），或（＋）換成與（·）；再將原變量換為非變量（如Ａ換成），非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得邏輯函數(shù)式就是。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。
　　注意，交換時要保持原式中的先后順序，否則容易出錯。
　　例如，求的非函數(shù)時，按照上述法則 ，可得，不能寫成。
運用反演規(guī)則時必須注意兩點：
　?。?）保持原來的運算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達式中,AB之間先運算，再和其他變量進行運算，那么非函數(shù)的表達式中，仍然是AB之間先運算。
　　（2）對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變。

3.對偶規(guī)則

　　L是一個邏輯表達式，如把L中的與（·）換成或（＋）,或（＋）換成與（·）；1換成0，0換成1，那么就得到一個新的邏輯函數(shù)式，這就是L的對偶式，記作L。
　　例如，，則。變換時仍需注意保持原式中先與后或的順序。
　　所謂對偶規(guī)則，是指當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立。
　　利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式。
　　例如，吸收律成立，則它的對偶式也是成立的。

三、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法

　　在第１章，曾經(jīng)通過列寫真值表，得到了樓梯照明燈控制的邏輯表達式，它是一個同或函數(shù)。那么 ，對應(yīng)唯一的真值表，邏輯函數(shù)表達式和實現(xiàn)它的邏輯電路是不是唯一的呢？下面就討論這個問題。

1.邏輯函數(shù)的變換

　　例：函數(shù)對應(yīng)的邏輯圖如下圖所示。利用邏輯代數(shù)的基本定律對上述表達式進行變換。

　　解：

　　結(jié)果表明，圖示電路也是一個同或門。

　　例：求同或函數(shù)的非函數(shù)。
　　解：

　　這個函數(shù)稱為異或函數(shù)，它表示當(dāng)兩個輸入變量取值相異（一個為0，另一個為1）時，輸出函數(shù)值為1。
　　在MOS門電路中 ，我們已接觸過異或門，上面的推導(dǎo)更明確地告訴我們，異或門和同或門互為非函數(shù)。所以在異或門電路的輸出端再加一級反相器，也能得到同或門，如下圖所示。

　　至此，我們已經(jīng)學(xué)到了不止一種同或函數(shù)，但是同或函數(shù)的真值表卻是唯一的，事實上還可以列舉許多。由此可以得出結(jié)論：一個特定的邏輯問題，對應(yīng)的真值表是唯一的，但實現(xiàn)它的電路多種多樣。這給設(shè)計電路帶來了方便，當(dāng)我們手頭缺少某種邏輯門的器件時，可以通過函數(shù)表達式的變換，避免使用這種器件而改用其他器件。這種情形在實際工作中常會遇到。

2.邏輯函數(shù)的化簡

　　根據(jù)邏輯表達式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖。但是直接根據(jù)某種邏輯要求而歸納出來的邏輯表達式及其對應(yīng)的邏輯圖，往往并不是最簡的形式，這就需要對邏輯表達式進行化簡。
　　一個邏輯函數(shù)可以有多種不同的邏輯表達式，如與—或表達式、或—與表達式、與非—與非表達式、或非—或非表達式以及與—或—非表達式等。

　　以上五個式子是同一函數(shù)不同形式的最簡表達式。以下將著重討論與或表達式的化簡，因為與或表達式易于從真值表直接寫出，且只需運用一次摩根定律就可以從最簡與或表達式變換為與非一與非表達式，從而可以用與非門電路來實現(xiàn)。

最簡與或表達式有以下兩個特點：
　?、倥c項（即乘積項）的個數(shù)最少。
　?、诿總€乘積項中變量的個數(shù)最少。

　　代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)是運用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進行化簡，常用下列方法：
　?、?并項法

　?、?吸收法

　　③ 消去法

　?、?配項法

　　使用配項的方法要有一定的經(jīng)驗，否則越配越繁。通常對邏輯表達式進行化簡，要綜合使用上述技巧。以下再舉幾例。

例1

解：

例2